无网格法的前生今世

随着计算技术和计算机计算水平的不断提高，数值模拟方法逐渐应用到了力学的各个领域。网格离散法，包括有限元、有限差分、有限体积等方法，作为出现较早的数值模拟方法，广泛地应用到了力学的相关计算中。

但是，网格数值模拟方法并非完美无缺，也存在一些难以解决的问题。例如在流体力学模拟中，由于流体力学模拟是个复杂的过程，存在极端变形、自由液面以及物质运动交界面等问题，在应用网格数值模拟时，会出现网格扭曲导致计算不收敛或者产生很大的计算误差；再如在模拟大变形问题时，包括高速碰撞、水底爆炸现象、裂纹动态扩展、流固耦合以及金属冲压成型等，用网格数值模拟方法也不能得到理想效果。无网格法正是在这些背景下发展起来的。

基于无网格Galerkin法的锻造模型

无网格法（Meshless Method or Mesh-Free Method）最早出现于19世纪70年代，这时候发展较为缓慢。1977年，Lucy L B、Gingold R A等人首次提出了光滑质点流体动力学方法（SPH），并将该方法成功应用于天体物理的领域中。1981年，Lancaster较为系统地研究了移动最小二乘法。

无网格法——基于SPH算法的案例

20世纪90年代，国际计算力学界掀起了无网格法的研究热潮，涌现了10余种无网格方法，主要包括：辐射元法(DEM)、无网格Galerkin法(EFG)、重构核粒子法（RKPM）、有限点法(FPM)、Hp云团法(Hp clouds)、径向基函数法（RBF）、无网格局部Petrov Galerkin法(MLPG)、单元分解法（PUM)、物质点法（MPM）等，它们之间的区别主要在于试函数的选择和微分方程的等效形式。

相比国外计算力学研究者对无网格法的大量研究，国内对这方面的研究较少，但无网格法依然在不断发展之中。尤其最近几年，由于无网格法在计算过程中不需初始划分和重构网格，直接借助于离散点来构造函数，相较于传统网格算法，无网格法不仅可以保证计算的精度，而且可以减小计算的难度，尤其在一些特殊问题上，如模拟大变形问题——水下爆炸、海浪冲击及激波管等，具有显著优势，众多的研究人员逐渐将目光放在了无网格法的研究上。

截止到现在，国际和国内学者已经提出了多种不同的无网格方法，其基本思想都是在问题领域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。

什么是无网格法？

无网格法是在数值计算中不需要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函数离散控制方程，就可方便地模拟各种复杂形状的流场。显而易见这种定义只对流体力学的无网格法进行了定义，扩展到其他力学领域，无网格法可以理解为根据节点来构造近似函数，以消除由于依赖网格而带来的问题。

与传统数值分析相比，无网格法具有的优点可以概况为：不需网格；容易构造高阶形状函数；容易进行自适应分析；能够解决一些传统数值方法难以解决的问题；前处理简单等。

有限元法

无网格法

作为数值计算方法，无网格法和有限元法均需要对工程问题求解域进行离散化，从而将连续偏微分方程的计算转化为系统有限结点线性方程组的求解。两者的主要区别在于：无网格法在建立近似函数时不需要网格，基于函数逼近近似而非插值，采用不同的形函数等。

无网格法与有限元法解决问题的计算步骤

目前，无网格法有多种不同的分类方法，例如根据使用的无网格函数近似方法来分类；根据公式导出方法来分类；根据域表示法来分类。其中，无网格法根据公式导出方法可以分为三类：基于配点的无网格法；基于弱式的无网格法；基于弱式和配点结合的无网格法。

1）基于配点的无网格法包括：广义有限差分法（GFDM），MFree配点法，有限点法（FPM）；

2）基于弱式无网格法包括：扩散单元法（DEM）、无单元Galerkin法（EFG），再生核粒子法（RKPM），无网格局部Petrov-Galerkin法（MLPG），局部径向基点插值法（LRPIM），h-p云法；

3）基于弱式和配点相结合的无网格法包括：MFree弱-强式法（MWS），光滑粒子流体动力学法（SPH）。

无网格法的发展前景

经过40多年的发展，无网格方法已经在高速冲击以及爆炸、断裂力学、结构超大变形、优化、流固耦合和自由表面流动、生物力学、微纳米力学等问题上有了成功的应用。尤其随着高性能计算技术的发展，无网格方法也越来越受到各行各业工程师们的青睐。

脱壳穿甲分析

但坦率地讲，无网格法依然没有有限元法发展地那么快，同时，大规模地使用无网格法也将大大增加计算时间。因此，无网格法主要用于不连续、大变形或应力集中区域使用，例如冲击区域、裂纹扩展区域、大变形区域等，其余区域仍以采用其他数值方法为主。但无网格法只涉及离散点，通过在点云结构上离散控制方程，不存在网格质量和拓扑结构限制等问题，这打破了传统网格结构化的思维，彻底摆脱了结构化和网格化的思想束缚。因此，无网格法比网格算法具有更大的几何灵活性，在处理复杂力学问题方面具有独特优势。

嵌入无网格算法的部分CAE软件列表

笔者认为，相比网格数值模拟方法，无网格法的研究历史尚短，在严格的数学论证、计算效率、边界条件处理和工程应用案例等方面，还不能与成熟的网格数值方法相媲美。但在CAE市场上，目前无网格法已被成功嵌入到了LS-DYNA、AUTODYN、XFlow、PowerFLOW、RADIOSS、VIRGO等商业软件中。由此可知，无网格法也代表了CAE未来的一种发展趋势，相信未来会有更多的无网格法会被引入到更多商业软件中，以破解传统网格难以分析的数值模拟问题。