金属材料硬化准则，也称为硬化规律，描述了屈服面在塑性变形下如何变化。硬化准则控制着塑性材料变形时材料强度的变化。材料强度的变化也可以被认为是屈服面的几何形状或位置的变化。

在完全塑性情况下，当应力达到屈服 A 点并保持该点时，塑性变形开始发生。当应力减小时，发生卸载，弹性变形回复。在硬化规律中，一旦发生屈服，则需要不断增加应力才能继续形成塑性变形。如果应力始终保持在 B，则不会发生进一步的塑性变形。

 应变硬化定律

应变硬化是指金属的应变超过屈服点。需要不断增加的应力来产生额外的塑性变形，然后材料变得更强并且更难以变形。材料对塑性流动的抵抗力将增加，这称为“应变硬化”。

当加载表面同时遵从各向同性和随动硬化规则的组合来捕获加载表面扩展和平移时，应当使用混合硬化定律。

各向同性硬化

各向同性硬化是模拟应变硬化的最简单方法，它设置屈服面尺寸的增加，但由于塑性应变而保持相同的形状，这意味着屈服面保持均匀（没有任何扭曲或平移），但是随着压力的增加而扩大。

屈服面在塑性流动的情况下在所有方向上均匀膨胀。各向同性硬化的值与应变量直接相关。

各向同性硬化与累积位错结构有关，并扩大了塑性变形下材料的屈服面。

塑性流动从 A 点开始。如果材料从 B 点卸载到零应力然后重新加载，材料的屈服和塑性变形将沿着其原始应力应变路径继续。

当载荷继续到 C 点时，各向同性硬化被视为材料的新屈服强度。如果材料受到压缩载荷，直到 D 点才会发生屈服。塑性变形期间，屈服面在所有方向上均匀膨胀，形状不会变形，屈服面中心也不会平移。

屈服函数的形状由初始屈服函数指定，其大小随着硬化参数的变化而变化。

控制硬化的有效塑性应变可以使用两种不同的方法来定义。

首先，ɛ _p 可以定义为根据单轴应力状态的累积塑性应变。

其次，ɛ _p 可以使用单位体积的塑性功来描述，其中 σ _e 是基于加载表面定义的有效应力。

硬化参数与有效塑性应变ɛ _p 之间可以考虑不同的关系。例如，对于 von Mises 加载面，可以选择线性各向同性硬化作为最简单的关系

在循环加载中，各向同性硬化模型无法很好地表示许多金属的应力应变响应。此外，各向同性硬化定律在部件承受循环载荷的情况下没有用处。它没有考虑包辛格效应，因此预测在几个周期后固体会硬化，直到它做出弹性响应。

屈服函数公式：

各向同性硬化可以表示为：

Y：屈服应力
K : 硬化参数

随动强化

在随动硬化中，允许屈服面在应力空间中平移，而尺寸或形状不发生变化，这意味着屈服面保持相同的形状和尺寸，但沿屈服方向平移。

最初的各向同性塑性行为在屈服后不再是各向同性（运动硬化是各向异性硬化的一种形式）。

随动硬化是描述材料在达到屈服面后的行为的硬化规则之一。

材料在 σ _y 点开始屈服，并加载到塑性区域。加载和卸载至零应力不会导致屈服面发生任何额外的平移，因为平移仅在塑性应变期间发生。

加载到压缩中，会在运动硬化中产生非常不同的响应，因为在显着小于第一屈服应力 σ 的应力下会发生屈服。

为了模拟鲍辛格效应，使用了运动学硬化规则，其中拉伸硬化将导致随后的压缩软化。

鲍辛格效应（循环塑性）行为是观察屈服面的中心沿塑性方向移动。圆形屈服面的膨胀对应于各向同性硬化，其中心的平移对应于运动硬化。各向同性硬化符合屈服面扩展，但其中心不移动。在运动硬化中，屈服面的中心发生移动，但其表面不扩展。

 线性随动强化

对于线性运动硬化，屈服面在塑性流动过程中转化为刚性移动。

弹性区域等于初始屈服应力的两倍。随后的压缩屈服会随着拉伸屈服应力的增加而减少，因此拉伸屈服与压缩屈服之间始终保持 2σ _y 差异（这称为包辛格效应）。

硬化定律预测应力-塑性应变曲线是一条直线。

非线性运动硬化有一些特性：

• 大多数金属在小应变循环载荷下表现出运动硬化行为，运动硬化通常用于小应变循环载荷应用。

• 对于应变水平相对较小（小于 10% 真实应变）的情况，建议进行线性运动硬化。

屈服准则可表示为：

F = [(3/2) (s − a) : (s − a)]^1/2 – σ_y = 0

S : Deviatoric stress S : 偏应力
σ_y : Uniaxial yield stress σ _y : 单轴屈服应力
α : Back stress α : 背压

The back stress is linearly related to plastic strain via:
背应力与塑性应变通过以下方式线性相关：

Δα = [2÷3 c.Δε_pl]

 非线性随动强化

非线性运动强化与线性运动强化类似，不同之处在于演化低点具有非线性项。

该关系可以模拟循环蠕变，即材料在循环载荷下沿平均应力方向累积应变的趋势。它被称为阿姆斯特朗-弗雷德里克Armstrong-Frederick 硬化定律。

非线性随动强化具有以下特点：

• 非线性运动硬化在硬化和塑性应变之间不存在线性关系。

• 与线性运动硬化不同，屈服面不能在主应力空间中永远平移。

• 常数 R 添加到响应中。

• 非线性运动硬化适用于大应变和循环载荷，因为它可以模拟鲍辛格效应。

屈服准则可表示为：

F = [(3/2) (s − a) : (s − a)]^1/2 – R – σ_y ≤ 0

S : Deviatoric stress S : 偏应力
σ_y : Initial yield threshold value
σ _y : 初始良率阈值
a : Back stress by the Armstrong-Frederick model
a：Armstrong-Frederick 模型的背部应力
R : Constant yield stress  R：恒定屈服应力