看见有伙伴在询问有限元分析中pressure和force的区别。其实他本意应该是有个类似于pressure的荷载，现在想使用节点荷载force替代施加上去，但是不明白和直接施加pressure有啥区别。当时我只是简单回了句：在低阶单元中没啥区别，在高阶单元中由于单元中间节点和角节点性质不一样，不能简单等效。

2 、引例

    在进入正题之前，我们先对一个局部热点的问题进行说明，就当热热身。如下图所示，是一个简单的平板拉伸：

图 1 引例

    左侧为防止应力集中，因此仅仅约束中间节点水平以及竖直位移（这时端部收缩趋势没有没阻挡），其余节点只约束水平位移，右侧五个节点施加相同的1N向右的集中力荷载，单元使用plane182，行为为平面应力。可以看到一个熟悉的现象，那就是局部热点，这当然不是我们希望看到的。为什么施加相同的力却在上下部分出现局部热点（局部应力集中）？原因其实比较好理解，因为中间三个节点的1N实际上由两个单元分担，但是上下角点处仅仅由一个单元分担，因此中间三个节点的局部刚度和上下两端是不一样的，在这个例子中恰好等于两倍，因此导致了上下部分变形以及局部应力都高于中间部分，如果我们要正确得到想要的结果，只需将上下部分节点荷载换为中间节点的一半即可，如下所示，变形就是均匀的：

图 2 避免应力集中的加载方式

    如果觉得这样会导致施加的合力与开始的不一样，则可以按照比例进行施加，这里不进行细说。但是，如果我们将上述的5N荷载换成pressure施加结果会是怎样呢？如下所示：

图 3 pressure加载结果

    可以看见，将力换成pressure施加反而没有出现前面force的热点问题，现在我们肯定有个判断，force和pressure两者虽然最后都是转化为节点的force，但是肯定是有所不同的。Force就不说了，本身就是node force能直接转换，那么疑点就都在pressure上，下面我们就正式进入正题。

3、pressure的疑团

3.1   将pressure转化为节点荷载向量

    为了避免进行过多的理论讲解，这理解简单说明下：不管是节点集中力，体积力还是表面力最终都需要转化成节点荷载向量，为了区分，这里分别叫做节点力向量，体积力向量以及表面力向量，我们需要弄清楚的pressure就是表面力的代表。其中表面力向量是由如下式子定义：

    可以看到，表面力向量是由表面力作用的表面上计算的形函数矩阵与表面力点积的面积分。根据这个式子我们就可以知道表面力等效为节点力的分配大小，这部分内容在大部分有限元原理书中都有推导，感兴趣的伙伴可以参考。下面直接给出ansys在help中对节点力分配的图示：

图 4 表面力向节点力等效

    可以看到，对于低阶单元是节点均分。比如1Pa的压力作用在1㎡的表面，那么低阶四面体是各个节点分1/3N，低阶六面体是各个节点分1/4N，平面单元的话低阶单元是两个节点各分1/2N。但是对于高阶单元，比如图（a）（b）（c）中所述，节点分配规律与其说是奇怪，不如说是不能被常识所理解。这里先不纠结高阶单元的问题，先解决引例提出的问题。

3.2   Pressure为什么没有出现局部热点问题

    按照上述分配规律，例子中右侧的如果作用pressure，则刚好是如此：

图 5 节点力分配示意

    这样按照pressure的分配方式，中间节点受力5/4N，上下节点恰好是其一半5/8N，因此没有出现应力集中现象。但是需要强调的是，并没有说pressure一定不会产生集中，因为单元刚度受其几何形状以及单元类型影响比较大，因此如果在载荷附近有单元几何形状以及单元形式的不均匀一样会导致力作用的不均匀。

3.3   高阶单元的尴尬

    上述问题如果是高阶单元呢？按照高阶单元的分配，两个角节点为1/6，中间节点为4/6，那么将pressure按照下面这种方式施加节点力才是正确的（不用在意数值，主要是比例）：

图 6 高阶单元节点力分配示意

    为什么说高阶单元这个问题很尴尬？因为如果网格数量很大，这样去将pressure等效为force那不是要命嘛。

3.4   Workbench如何处理

    可是如果现实工况就是一个force，软件一般会怎么处理呢？下面用workbench做了一个简例，来看看它怎么处理：

图 7 workbench模型

     这个例子和上面一样，只是我用workbench进行操作，使用高阶单元划分，并且直接在右侧作用一定大小的力。现在，我们不知道软件是怎么处理的，下面我将这个模型导入经典界面看看：

图 8 追根溯源

图 9 单元示意

    从单元类型中我们看到不光使用了高阶面单元plane183，还使用了表面效应单元surf153。说实话，从这里可以看出，workbench其实将力除以面积转化成pressure施加到单元上了，至于为什么用表面效应单元，仅仅是为了更加灵活的定义压力荷载的方向而已。所以在使用高阶单元的时候遇到上述问题其实我们也可以直接转化为压力进行操作，如果直接将中间节点等同角节点对待，应力和变形结果在施加边界处是极其错误的，比如这样：

图 10 错误加载

图 11 加载端变形

    各个节点那叫一个争先恐后，因为节点力的分配错误导致单元的力学行为已经完全乱套了。不过这里不得不说明下，任何错误都是相对的，如果用上圣维南定理，忽略局部的错误，其对整体的外力贡献是没有问题的。