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算例丨用有限元算出"波动"（附APDL）

责任编辑：李宛倩时间：2023-02-28 来源：转载于：技术邻CAE学习

责任编辑：李宛倩
时间：2023-02-28 来源：转载于：技术邻CAE学习

分类：知识问答

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在网络论坛和甚至正式的学术会议中，关于结构动力学中的“波动方法”都是一个热点话题。尤其是其与工程上常用的以模态叠加法为基础的“振动方法”之间的区别和联系，更是值得深入玩味。其中有许多非常有意思的论点，有些来自于直观的工程经验，有些来自于对公式的粗略检视。比如，有的观点认为波动方法只能分析无界(无限大)结构的动力学行为，而振动方法只能分析有界(有限)结构的动力学行为。又有些观点认为有限结构在高频段就必须考虑“波动效应”，但什么是“波动效应”却语焉不详。实际上，“振动”方法和“波动”方法只是同一个问题的两种不同理解思路而已。换言之，他们都可以计算有界和无界结构在低频和高频动力学特性。为了说明这个观点，更好地辨析和理解“波动”和“振动”，最直接的办法是进行一些计算，看看所得的结果是否与预期相同。这也是本系列文章的目的。这里给出第一个算例。

算例目的

说明如下论点，即有限结构上也能出现“波动”现象，而这一现象的由最常规的“振动”分析方法获得。可以理解为“站在振动的立场上看波动”。为此，我们一个有限的结构，施加瞬态力载荷，并用有限元方法计算其瞬态响应。

概念约定

将以模态叠加法和动力刚度法为基础的结构响应求解方法称为“振动”方法，它们用一系列频率上离散的“模态”来刻画系统的固有特性；

将以傅里叶变换法为基础的结构响应求解方法称为“波动”方法，它们用“波数空间”(wave number space)来刻画系统的固有特性。

算例参数

材料弹性模量：2e11 Pa;

材料密度：7800 kg/m3;

梁长：2000 mm;

梁横截面：正方形2 mm ×2 mm;

阻尼：忽略一切阻尼;

边界条件：两端固支;

单元类型：BEAM188;

网格划分：沿梁长方向分为200段;

载荷：坐标原点处，沿Y方向的集中力载荷，其时间历程为：

此算例中，频率

计算软件：ANSYS

计算参数：瞬态动力学，完全法，计算时间范围：

计算结果

在瞬态动力学计算后，结构随时间的变形为：

分别选择激振点（x=0）和左侧传播路径上的一点（x=x0），绘出它们的时序响应，如下图：

红线：激振力时序历程

绿线：原点处的速度历程

蓝线：X负方向上一点的速度历程

讨论：这是一个在有限域上进行的瞬态计算，激振力只按照正弦形式持续了1个周期，后续的过程既可以理解为自由振动，也可以理解为波的传导。除了结构的振动，在结果中我们发现了较为典型的“波动”现象，尤其在波动尚未传递到边界时。而通过最后绘制的两个离激振点不同距离的点，绘制了它们的响应时程，更是清晰地发现了由于波传播引起的“滞后”现象。

由此可见，“波动”并不是什么特殊的现象，首先它可以发生在有限的结构上，其次波动现象可以由常规的结构动力学分析方法得到，诸如“因为我们用了有限元，有限元是振动方法，所以我们无法分析波动”这样的说法是不成立的。

这次计算是若干年前做的了，在计算之前与当时同一个实验室的同学打赌，让大家猜计算的结果大概长什么样子，猜错的请猜对的人吃饭。结果有些同学说一开始结构的所有点就会参与响应，有些甚至断言所有的点会以相同的相位响应。我虽然觉得应该是有一些部分先变形，另一些部分后变形，但是不确信这样的特性能否由ANSYS(有限元)这样的“振动”分析工具计算出来。其实现在想想，有限元哪里是什么“振动”分析工具，有限元就是一个普遍的动力响应分析工具，很多基于“波动”理论的方法也是以有限元为起点的。

感兴趣的话可以把APDL拿去跑一跑，多算一些时间，换一个更低/高的频率，再计算看看。

附：APDL代码

FINISH/CLEAR/PREP7/eshape,1BL = 1BW = 2e-2BH = 2e-2NMESH = 100ET,1,BEAM188MP,EX,1,2.1E11MP,PRXY,1,0.3MP,DENS,1,7800SECTYPE,1,BEAM,RECTSECDATA,BW,BH,2,2K,1,-BL,0,0K,3,0,0,0K,2,BL,0,0L,2,3,NMESHL,1,3,NMESHLMESH,ALLNSEL,S,LOC,X,-BLD,ALL,ALLALLSEL,ALLNSEL,S,LOC,X,BLD,ALL,ALLALLSEL,ALL!**********************!模态分析!**********************!/SOLU!ANTYPE,2 !指定为模态分析!MODOPT,LANB,10 !指定提取特征值数及所用方法!MXPAND,10,,,YES !指定扩展的模态阶数!SOLVE/PREP7*SET,N_CIRCLE,20 !计算的周期数*SET,NSTP_C,30 !每周期的载荷步数*SET,FRE,10000 !载荷频率*SET,CURR_T,0*SET,DT,1.0/FRE/NSTP_C*SET,PI,3.141592653/SOLUANTYPE,4 !指定分析类型：动力学分析TRNOPT,FULL !完全法TIMINT,ON !时间积分效应OUTRES,ALL,LAST !所有子步，所有记录写入DATABASE*DO,I,0,N_CIRCLE-1,1 !外部循环：共计算N_CIRCLE个周期*DO,J,1,NSTP_C,1 !内部循环：每个周期NSTP_C个载荷步CURR_T=(I*NSTP_C+J)*DT !计算当前载荷步的时间点*IF,I,EQ,0,THENALLSEL,ALLNSEL,S,LOC,X,0 !选择加载点F,ALL,FY,100*SIN(2*PI*FRE*CURR_T) !施加当前时间点的载荷ALLSEL,ALL*ENDIFALLSEL,ALLTIME,CURR_T !设置当前载荷步的时间点AUTOTS,1 !自动时间步长KBC,0 !载荷步之间线性插值：递增方式DELTIM,DT/10,DT/12,DT/8 !本载荷步之中指定时间步长LSWRITE,I*NSTP_C+J !写载荷步*ENDDO*ENDDOLSSOLVE,1,N_CIRCLE*NSTP_C !求解所有载荷步FINISH

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