0 引言

       高速、精密、大承载和轻量化是未来机器人的发展趋势，也是现代工业的生产率不断提高的必然结果。在这类机器人中，轻质、细长的杆件在高速运动时表现出了刚性机器人所没有的柔性性能，构件的弹性变形影响原设计的运动精度；构件的动态应力使构件的强度设计成为一个不可忽视的问题；构件的弹性振动会导致整个机器人的冲击、噪声和疲劳。杆件的柔性已经成为影响其运动性能和动力性能的重要因素。

       传统的柔性串联机器人存在操作速度低、刚度差、精度低、难以控制等缺陷，因此，能够完成的任务十分有限，无法满足人们对作业精度、负载质量和类型、工作速度等方面的不断提高的要求，而基于多闭环结构的并联机器人由于具有高速度、高加速度、承载能力强、能耗低、误差小、精度高、易于控制等一系列优点，已广泛地应用于机床、定位装置、娱乐、医疗卫生、航空、航天等领域。因此，柔性并联机器人的研究具有重要的实用价值和理论意义，已成为机器人研究和应用领域的前沿课题。

       由于柔性并联机器人的末端操作器及相关的关节配套装置均安装在动平台上，为使柔性并联机器人能够正常工作，动平台必须是刚体，而各杆件均是柔性杆，所以，柔性并联机器人实质上是一个多闭环、多柔体与刚体混合的非线性动力学系统，其运动规律远比多刚体系统或多柔体系统复杂，因此，动力学建模不便直接套用已有的柔性多体系统动力学建模方法。目前，国际上关于柔性并联机器人的建模、分析方法及实验的研究还很不成熟，国内尚未开展实验研究。许多研究者从便于控制的角度出发，作了一些假设和简化，建立了简单的模型，无法充分体现其动力学特性。有的研究者充分地考虑了各种因素，但建立的模型比较复杂，难以求解，也不利于探讨几何结构及物理参数对系统动态特性的影响，不便于后续的研究。

       通常用有限元方法建立柔性机器人的动力学模型，但编程比较困难，无论采取哪种高级语言（如VB、VC、FORTRAN等），编制一个完整的程序所耗费的时间都很长。另外，由于个人编程的思路和水平不同，很难保证算法、程序的一致性和准确性，而且因缺乏统一的标准，源代码的可读性和程序的复用性都不会很好。

       仿真软件具有易用性、可比性、适应性，因此，仿真实验有两个显著特点：快速和简便。这样不仅可以避免研究人员在进行柔性机器人运动学、动力学分析时的大量计算和出现错误的可能性，而且，可使不太精通机械和力学的人员也能对机器人进行运动学、动力学分析，并参与机器人的设计工作。因此，仿真分析软件是研究柔性机器人的重要手段，利用高效的动力学仿真软件对理论研究和工程应用都有十分重要的意义。

       本文将SAMCEF软件作为仿真平台，以北京工业大学和清华大学正在联合研制的3-RRR平面柔性并联机器人为设计实例，研究了柔性并联机器人的建模及仿真，为柔性并联机器人的参数设计和优化等提供了理论支持。

1 仿真平台

       1.1 仿真软件的选择

       虚拟样机仿真技术是近年来迅速发展起来的关于多体系统运动学与动力学建模理论及其技术实现的综合应用技术，可将复杂机械系统的理论研究和应用紧密联系起来。采用虚拟样机仿真技术可快速建模，并获得高质量的仿真分析结果，可代替物理样机对产品进行创新设计、测试和评估，简化开发过程，改进设计质量，为物理样机的开发研制奠定基础。

       在机械系统的运动学和动力学仿真分析方面主要有两类分析软件：

       以刚性体为主要分析对象的多体动力学仿真分析软件，具有代表性的软件是ADAMS；

       以柔性体为主要分析对象的有限元分析软件，具有代表性的软件是ANSYS。

       ADAMS可以实现复杂机械系统的虚拟样机仿真，真实地仿真其运动过程，但柔性分析功能不足，需要借助于有限元分析软件来提供柔性信息。ANSYS常用于结构静力学、动力学分析，也可以对机械系统进行瞬态动力学分析，但建模与分析的过程都很繁琐，要求操作者对机器人系统有深入的了解。而且，时间历程分析中采用的多步加载方法与常用的运动弹性动力学分析的“瞬态结构假设”的概念不同，所以，不能直接用于机器人系统的动态仿真。

       这些软件的共同特点是解决只有柔性体或只有刚性体的运动学、动力学问题，无法单独解决柔性体和刚性体混合模型的运动学、动力学问题。常规的解决办法是利用各软件的开放式程序结构及接口技术，同其它软件或第三方程序进行数据交换和协同分析。例如，当使用ADAMS软件仿真含有柔性体的模型时，需要先使用ANAYS软件获取柔性信息，并将一个模态中性文件传递给ADAMS进行仿真，这个过程比较繁琐，其中的输入数据、建立模型、设置有限元分析选项等操作很复杂，计算时间长，求解困难，后处理不够直观。而且，用户需要熟练掌握两种软件及其接口技术。通常，跨软件平台的参数传递需要采用接口点参数化建模传递技术，数据处理比较复杂，难于掌握，另外，这种建模和仿真分析方法没有也不大可能提供强大、便捷的人机交互功能，所以，这些方法不利于后续的分析和参数设计，只能局限在研究的范围内，不便于在实际的机器人设计及研究中推广应用。

       SAMCEF软件是欧洲CAE领域普遍采用的有限元软件，功能强大，尤其擅长于刚体柔体耦合的复杂系统的动力学建模和分析。它集成了多体系统动力学理论成果、参数化建模工具、运动学和动力学分析求解器、功能强大的后处理模块和可视化界面，具有求解速度快、精度高等优点。因此，可以选择SAMCEF作为仿真平台。

       1.2 SAMCEF简介

       SAMCEF软件的基本计算原理是将求解域当作由许多称为有限元的小的互连子域组成，不必考虑整个定义域的复杂边界条件，对每一个单元假定一个合适的近似解，然后推导求解整个域的满足条件，从而获得问题的解。由于采用的有限元模型是系统的离散模型，所以，求出的是表征系统状态的偏微分方程的近似解。但由于大多数实际问题难以得到精确解，而有限元法不仅计算精度高，还能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

       有限元方法求解问题的基本步骤通常为：

       (1)定义问题及求解域；

       (2)求解域离散化；

       (3)确定状态变量及控制方法；

       (4)单元推导；

       (5)总装；

       (6)联立方程组求解和结果解释。

       所以，SAMCEF求解问题可分为三个阶段：前处理、求解和后处理。前处理阶段建立有限元模型、定义单元属性、划分单元网格；后处理阶段采集处理结果、提取信息。

       SAMCEF能进行多种类型的分析：模态分析、非线性静态和动力学分析、频率响应、瞬态响应、机构运动仿真分析和机构——结构耦合分析等。软件中的SAMCEF FIELD模块是有限元前、后处理器，提供完善、友好的前后处理环境，功能包括建模、线性或非线性运动学、动力学仿真分析及分析结果的后处理，是从CAD到CAE的连接桥梁。它让用户完成所有的模型准备和分析过程，使分析成为设计过程的一个集成部分。

2 仿真问题描述

       2.1 3-RRR平面并联机器人结构

       3-RRR平面并联机器人的主体结构是个多环机构，可以实现两维移动和一维转动。由动平台、定平台和连接动平台、定平台的分支运动链等组成。其结构特征为：动平台通过三个结构相同的驱动分支RRR（转动副——转动副——转动副，用下划线表示驱动副）与定平台连接，在每个分支运动链中，与定平台连接的转动副是驱动副，动平台与各从动杆件、各从动杆件与主动杆件、主动杆件与定平台均通过转动副连接。

       2.2 实体模型

       为了实现仿真和分析的可视化，需要建立实体模型。在完成了总体设计、概念设计和尺度综合后，在三维CAD软件PRO/E、SOLIDWORKS等软件平台下按照实际尺寸，建立实体模型。建模过程通常可采用并行工程和自上而下的建模策略。首先，建立单独的构件的模型，然后，根据Team Work的思想，利用CAD软件的自动管理文档功能实时监控各构件的装配过程，建立实体模型，最后，利用渲染功能对模型进行材质、纹理、色彩、光照等处理，以增强模型的真实感。机器人的实体模型，如图1所示。其中，基座为定平台。

图1 平面3-RRR并联机器人实体模型图

       2.3 仿真实例

       由于柔性并联机器人的动力学研究属于前沿课题，国际上尚未出现各杆件均为柔性的并联机器人样机，我校与清华大学合作研制的柔性并联机器人样机正处于研发阶段，所以，需要用仿真实验来研究机器人的运动学、动力学性能。

       机器人的参数如下：

       各杆的材料均为钢，密度为7800kg/m³，弹性模量为2.1×10¹¹Pa，泊松比为0.3，长度均为0.2m，截面积均为4mm×4mm。每根杆端部的集中质量均为0.1kg。三角形动平台的边长均为0.042m，动平台的质量为0.1kg。机座的坐标分别为(－0.3m，0m)、(0.15m，0.1m)和(0.2m，0m)。目标点为动平台的中心点，其名义运动规律为

       式中，X、Y和β分别表示动平台中心点沿x、y方向的线位移和动平台角位移。

       用SAMCEF软件可以实现和分析：

       ⑴机器人的整个运动过程的动态显示；

       ⑵真实的位移、速度、加速度等运动学参数；

       ⑶机器人的弹性运动误差；

       ⑷机器人弹性振动的固有频率、振型；

       ⑸各杆件的应变、应力；

       ⑹各关节的支反力；

       ⑺机器人的驱动力矩；

       ⑻各构件的内力等。

       此外，还可以自定义测量对象，对一些关键部位进行跟踪，从而验证设计方案的可行性。

3 仿真过程简介

       3.1 仿真流程

       系统的建模与仿真流程框图，如图2所示。

图2 建模与仿真流程图

       3.2 主要模块说明

       (1)创建构件几何模型 SAMCEF软件可通过标准的中性交换格式与任何CAD软件传递参数，通常可以按照自下而上的顺序，用PRO/E、SOLIDWORKS等软件建立全相关性基于特征的参数化模型，将真实的系统分解成可用的基本单元模型，然后建立最底层的各个子模型，再由此拼装高层次的子模型，最后形成系统模型。通过采用CAD技术，可对机器人结构理解得更加透彻，帮助设计者准确了解空间形状、几何尺寸，缩短开发时间和流程，提高设计成功率。当然，在充分了解机器人结构的情况下，也可在SAMCEF环境下，以IGES、STEP或BREP格式导入构件模型，使用SAMCEF FIELD工具修补或修改。也可以利用模型生成器MODELER的草绘命令或实体创建命令直接进行参数化建模。

       (2)有限元分析数据输入 有限元分析数据包括单元特性、材料特性、边界条件、载荷、装配关系和初始条件等。其中，单元特性包括单元的类型、单元的几何参数等；载荷包括结点力、压力、自重等；边界条件指系统与环境之间的连接关系；装配关系体现为各构件之间的连接单元；初始条件定义可以为非线性分析设置初始的条件。载荷、边界条件和材料特性可以直接赋给几何体、预先定义的构件组或网格体。

       (3)网格约束 网格约束的控制参数包括单元长度、单元数量、结点在曲边上的部署、起始结点或单元号、单元类型、单元阶数和网格生成方法等。

       (4)求解参数设置 求解设置模块的功能包括数据一致性验证、执行参数的定义或修改、载荷工况集的定义、结果输出项目设置、数据文件的生成、求解提交与控制、求解过程监控等。

       (5)结果报告和输出 可以自动生成超文本HTML处理报告、动画、图片、数组、曲线等。

       3.3 软件功能的扩展

       软件的可扩展性是指在不影响已有功能的情况下，添加一些子模块或者外挂程序，扩展出新的功能和用途。通过这种方法不断地扩展软件系统，最终使软件具有良好的通用性。

       使用者或第三方可以通过外挂程序或者应用程序接口（API）灵活地实现软件功能的扩展，无须编辑或修改源代码，只需要遵循一定的规范和方法进行单独编程。

       固有频率特性是柔性机器人动力学特性分析的重要内容，可用于避免机器人在共振区工作，具有重要的实用价值。但SAMCEF软件本身不能连续求解机器人在各个运动位置的固有频率。此外，关节支反力是机器人的重要动力学参数，合理的关节支反力是机器人正常工作的必要条件。通过分析关节支反力还可以比较全面地考查柔性杆件对机器人动力学特性的影响。但SAMCEF软件不便自动计算关节支反力。本文通过编程求解了机器人在整个运动过程中的关节支反力和固有频率，为后续的研究和机器人的设计提供必要的信息。

       3.4 应用程序的编写

       求解频率的基本方法是将机器人在每个时间步长内作“瞬时结构假定”，把机器人在各个运动位置的位形都视为一种结构，再借用结构动力学方法求解固有频率。以下是求解固有频率的部分关键代码：

       …… 
       .Clx Cha Noeud m 
       .Fct i n 
       .Cree x u v Initial_value Terminal_value F(x) 
       .…… 
       ! Text write filename= 
       ”C:/Samcef/Command/Function” 
       .Sam inst 2 Npr 1 Nalg 4 Nval 6 
       !.Sam inst 2 Npr 2 Nalg 4 Nval 6 
       !.Sam inst 2 Npr 3 Nalg 4 Nval 6 
       !.Sam inst 2 Npr 4 Nalg 4 Nval 6
       ……

       其中，Cha表示结点位移边界条件，为控制关键词；Noeud表示结点，是方位关键词；m表示被控制的结点；in表示运动方程的个数，等于刚体运动的自由度；Cree表示建立并加载方程；x表示建立x方向的方程；u为型函数自变量；v为值域关键词；Initial_value和Terminal_value分别表示值域的下限和上限；F(x)为函数表达式。

       求解关节支反力的方法为：首先，选择需要输出结果的结点，建立结果输出组，形成结点组并重命名；然后，打开Solver模块下的Epligoue按钮，填加求解和输出命令，提交求解后，在数据树中的Function中即可查看各结点的反力。

       以下是求解关节支反力的部分关键代码：

       …… 
       .Sai Archive Group "Group_name" Component 1 2 3 Stype 9221 
       .Sai Archive Noeud Node_number Component 1 2 3 Stype 9221 
       …… 

       其中，Sai和Archive为求解命令；Group确定求解对象为结点组；Noeud确定求解对象为单独结点；Group_name为代求的结点组的名称；Node_number为代求的结点号码；Component 1 2 3分别表示x、y和z方向的分量；Stype表示求解类型；9221为内部命令代码。

       3.5 仿真结果及分析

       所有的仿真计算结果均可用数组、图形、表格等方式显示，限于篇幅，仅列出几个比较典型的仿真结果，例如目标点在x、y方向的实际位移和运动误差、第一支链主动杆根部的应力、系统固有频率、第三支链的驱动关节的支反力等，见图3～图9。

       目标点在x、y方向的位移见图3、图4。

       由图3、图4可知，目标点的实际位移始终以名义刚性位移为中心往复振荡，这直观地说明了整个机器人系统是一个多自由度的复杂的振动系统。为了更准确地掌握由杆件的弹性造成的运动误差，用SAMCEF软件可将运动误差提取出来，见图5和图6。

       由图3～图6可知，杆件的弹性严重地影响了系统预定的运动轨迹的精度，所以，为获得较好的性能，必须重视杆件的弹性对运动精度的影响。

       通常，各主动杆件根部由于安装驱动器，因此，应力较大。第一支链主动杆根部的应力见图7。

图3 目标点在x方向的位移

图4 目标点在y方向的位移

图5 目标点在x方向的运动误差

图6 目标点在y方向的运动误差

图7 第一支链主动杆根部的应力

图8 系统基频

图9 第三支链的驱动关节的支反力幅值

       由图7可知，杆件的动态应力在整个运动过程中的差别很大，由此，可以确定最大应力出现的时间。对比各杆件的情况，可以掌握系统的最大应力出现的时间、位置及变化规律。根据图7可以了解杆件的应力状况，从而判断能否发生断裂破坏，还可以计算杆件的疲劳寿命及可靠性。

       基频通常在整个机器人系统的固有频率中占有主导地位，决定了系统的动力学特性。机器人的基频见图8。

       由图8可大致判断系统的刚度。系统的固有频率随着机器人运动位置的变化而变化。由于本算例的机器人刚度较小，频率值就较小，频率值的变化幅度也就较小。图8可用于了解系统频率的大致范围，避免发生共振或低阶谐振现象。

       各关节（尤其是驱动关节）的支反力体现了机器人系统的稳定性、工作任务的合理性，是一个重要的指标。第三支链的驱动关节的支反力见图9。

       由于驱动关节安装在定平台（即基座）上，所以，定平台对驱动关节的支反力也体现为机器人系统对基座的震动力。由图9可知，由于杆件的弹性造成了整个系统的弹性振动，也影响了定平台对机器人的支反力。图9可用于判断关节的受力状况等，也可判断机器人对基座的震动力，并进而评价机器人系统的稳定性、可行性、合理性。

       图3～9体现了柔性并联机器人的最主要的运动学、动力学参数，均可用于评价、判断杆件的弹性对机器人运动学、动力学性能的影响，为柔性并联机器人的减震、优化设计、规划、控制等后续的研究提供了必要的信息和指导。

4 结论

       给出了基于SAMCEF软件的柔性并联机器人的建模与仿真分析过程。以单一的SAMCEF软件为建模及仿真分析的平台，避免了多个软件间的数据交换和协同操作，降低了工作难度，减轻了工作量，也降低了成本。

       利用SAMCEF软件的各模块的功能，并通过API接口技术开发了自动计算机器人固有频率、系统任一点内力的程序，扩展了SAMCEF软件的功能。该方法操作简单，计算速度快，便于机械工程师在机械设计中使用。

       仿真结果充分体现了柔性并联机器人的运动学、动力学性能，为柔性并联机器人的研究提供了一种新颖而有效的建模和仿真方法，具有很好的实用性。

       杆件的弹性变形对柔性并联机器人的运动学、动力学性能具有重要影响，必须给予足够的重视，并展开深入的研究。