1 引言

    结构优化设计是1960年代初发展起来的一门新兴学科，它将数学中的最优化理论与工程设计相结合，使人们在解决工程设计问题时，可以从无数设计方案中找到最优或者是尽可能完善的设计方案，从而大大提高了工程设计效率和设计质量。

    结构优化设计可以根据设计变量类型的不同划分为3个层次：优化结构元件的参数，称为参数优化或尺寸优化；优化结构的形状，称为形状优化；优化结构的拓扑结构，称为拓扑优化。其中，拓扑优化难度最大，但它是优化设计中最具生命力的研究方向。

2 结构拓扑优化的发展概况

    结构拓扑优化包括离散结构的拓扑优化和连续变量结构的拓扑优化。拓扑优化的主要思想是将寻求结构的最优拓扑问题转化为在给定的设计区域内寻求材料的最优分布问题。虽然结构拓扑优化的概念已经提出100多年了，但直到近几十年才得到迅速的发展，而且大部分的研究都是针对连续结构的，而针对离散变量的研究甚少。由于离散变量优化的目标函数和约束函数是不连续、不可微的，可行域退化为不可连通的可行集，所以研究难度大大高于连续变量优化问题。

    结构拓扑优化的研究历史是从桁架结构开始的。Maxwell在1854年首次进行了应力约束下最小桁架的基本拓扑分析。1904年Michell用解析分析的方法研究了应力约束、一个荷载作用下的结构，得到最优桁架缩影满足的条件，后称为Michell准则，并将符合Michell准则的桁架称为Michell桁架，也称最小重量桁架，这被认为是结构拓扑优化设计理论研究的一个里程碑。但是，Michell提出的桁架理论只能用于单工况并依赖于选择适当的应变场，并不能应用于工程实际。直到1964年，Dorn、Gomory、Greenberg等人提出基结构法(ground structure approach)，进一步将数值理论引入该领域，此后拓扑优化的研究重新活跃起来了。所谓的基结构就是一个由众多构件联结而成的、包括所有载荷作用点、支承点在内的结构。该方法的基本思路是：从基结构的模型出发，应用优化算法(数学规划法或优化准则法)，按照某种规则或约束，将一些不必要的杆件从基结构中删除，例如截面积达到零或下限的杆件将被删除掉，并认为最终剩下的杆件决定了结构的最优拓扑应用基结构，可以将桁架拓扑优化转换为杆件截面优化来处理。

    Michell桁架理论在近几十年得到了重要的进展。Cox证明了Michell桁架同时也是最小柔度设计。Hegemier等将Michell准则推广到刚度\动力参数约束，以及非线性弹性等情况。Hemp纠正了其中的一些错误。Rozvany对Michell桁架的唯一性和杆件的正交性进行了讨论，对Michell准则做了进一步的修正。现在，已经建立了多工况以及应力和位移组合约束情况的优化准则。Hemp研究了Michell桁架的求解方法并给出了一些重要解答。Dobbs和Fetton使用最速下降法求解多工况应力约束下桁架结构的拓扑优化。Shen和Schmidt采用分枝定界法求解在应力和位移两类约束下桁架结构在多工况作用下的最优拓扑。王光远等提出了结构拓扑优化的两相法。Kirsch针对离散结构的拓扑优化问题,提出了一种两阶段算法。Rozvany研究了在一个集中力的作用下，用一个直线支撑边界，或两个相交支撑边界，以及四边形设计域时四边全部支撑等情况下的Michell桁架的解。周克民等提出了采用有限元方法建立Michell桁架的方法。

    近年来一些适合于并行计算且对函数性态要求较低的全局搜索算法，如遗传算法(GA)，神经元网络算法和模拟退火算法(SA)等开始应用于拓扑优化设计中，但是这些算法仅能用来解决小规模的问题。遗传算法是基于Darwin进化理论和Mendal遗传学说的一种优化搜索方法，由于它对目标函数、设计变量及可行域没有特殊要求，因而在结构优化设计领域具有广泛的适用性。用遗传算法求解拓扑优化设计，满足结构杆件的增删可以同时进行，从而避免陷入众多局部最优，但是遗传算法受到自身机理的限制，当问题的求解空间较大时，它的收敛进程将十分漫长。刘红艳将遗传算法和拟满应力算法相结合提出了一种新的杂交算法，这种算法利用拟满应力算法的优势进行截面优化，利用遗传算法进行拓扑优化，大大减少遗传算法的求解空间，加速收敛进程，可处理多空间多工况的离散变量结构拓扑优化问题，且使用方便，运行稳定。朱朝艳等把传统的离散复合形法嵌入到遗传算法形成一种新的混合遗传算法-复合形遗传算法，并把它应用于求解离散变量桁架结构拓扑优化设计问题，取得比较满意的结果。蔡文学和程耿东使用模拟退火算法求解桁架结构拓扑优化的全局最优解，构造了一个双重控制Metropolis准则处理应力约束，提出了一个基于力平衡的启发式准则，以实现优化过程中单元的自动增删。高峰等研究了遗传算法采用实数码及非一致变异对优化结果的影响效果，并用GA解决多工况、多约束离散变量结构拓扑优化问题。日本的H.kawamura采用改进的遗传算法来求解桁架结构拓扑优化问题。刘光惠和韦日钰针对桁架拓扑优化问题提出桁架拓扑和尺寸优化的协同演化算法。亦有不少学者从离散变量优化设计角度来研究拓扑优化。大连理工大学孙焕纯等人提出了离散变量拓扑优化的序列二重二级优化方法。柴山等建立了包含截面和拓扑两类变量的离散变量结构拓扑优化设计的数学模型，该模型考虑了截面变量与拓扑变量间的耦合关系,反映了拓扑优化问题的组合优化本质，可以较好地解决“极限应力”、“最优解的奇异性”等困扰结构拓扑优化设计的问题。段宝岩和陈建军基于极大熵原理提出了一种新的杆系结构拓扑优化方法，通过引入应变能密度函数，将极大熵与拓扑优化建立了内在联系，从而将拓扑优化问题转化为寻求最佳应变能分布的问题。针对大型结构的拓扑优化问题，Zhou和Rozvany发展了一种优化准则类算法，即DCOC算法，采用这种算法可使准则法求解拓扑优化的能力大为提高。

    需要指出的是，在采用基结构时，无论以内力还是截面积为设计变量最终都是将桁架拓扑优化问题转化为广义(截面)尺寸优化问题，这样做虽然简单,但也带来了一些不易解决的困难，例如考虑应力\局部稳定(屈曲)约束时的特殊困难，还有“奇异最优解”问题等。奇异最优解问题是Sved和Ginos最早发现的。他们在用数学规划法求解一个三杆桁架的拓扑优化设计时，始终得不到全局最优解，只能得到局部最优解，从而猜测在某种情况下，拓扑优化的全局最优解可能是设计空间中的一个孤立可行点，称为奇异最优解。She和Schmit对这个问题进行了详细说明。Kirsch对该问题做了进一步研究后指出，结构最优拓扑可能是设计空间的一个奇异点，并绘制了设计域的图形。程耿东和蒋铮从另一个角度进行研究,指出应力约束函数在零截面处的不连续性是造成奇异最优解的根本原因，结构拓扑优化的可行域不仅可能非凸而且可能呈星形，全局最优解可能位于设计空间中非凸星形可行域的退化低维子域的端点，因此采用传统的数学规划方法难以得到全局最优解。程耿东和郭旭提出一种ε-Relaxed算法处理桁架结构奇异最优解问题，这种方法通过对原问题的约束函数加以变换并予以适当放松，使原问题中处于低维退化子域上的可行点附近的可行域测度不再为零，从而可以利用已有的拓扑优化算法有效地求出全局最优解。

3 连续体结构拓扑优化方法

    结构拓扑优化目前的主要研究对象是连续体结构。优化的基本方法是将设计区域划分为有限单元，依据一定的算法删除部分区域，形成带孔的连续体，实现连续体的拓扑优化。连续体结构拓扑优化方法目前比较成熟的是均匀化方法、变密度方法和渐进结构优化方法。

    3.1 均匀化方法(Homogenization Method)

    均匀化方法是连续体结构拓扑优化中最常用的方法，属材料描述方式。其基本思想是在拓扑结构的材料中引入微结构(单胞)，微结构的形式和尺寸参数，决定了宏观材料在此点的弹性性质和密度。优化过程中以微结构的单胞尺寸作为拓扑设计变量，以单胞尺寸的消长实现微结构的增删，并产生由中间尺寸单胞构成的复合材料，以拓展设计空间，实现结构拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一和连续化。目前针对均匀化模型的研究工作包括微结构模型理论的研究和均匀化模型实际应用的研究。利用Bensous-san等人发展的一套基于摄动理论的关于周期性结构分析方法，来建立材料微结构尺寸与材料宏观弹性性质之间的关系，具有较严格的数学基础，成为连续体结构拓扑优化研究中的主要方法。目前这一方法已用于处理多工况的二维、三维连续体结构拓扑优化，热弹性结构拓扑优化，考虑结构振动、屈曲问题的拓扑优化，并被用于复合材料的设计中。

    3.2 变密度方法(Artificial Materials)

    变密度法也是一种常用的拓扑优化方法，属材料(物理)描述方式。变密度法以连续变量的密度函数形式显式地表达单元相对密度与材料弹性模量之间的对应关系，这种方法基于各向同性材料，不需要引入微结构和附加的均匀化过程，它以每个单元的相对密度作为设计变量，人为假定相对密度和材料弹性模量之间的某种对应关系，程序实现简单，计算效率高。变密度法中常用的插值模型主要有：固体各向同性惩罚微结构模型(solid isotropic microstructures with penalization，简称SIMP)和材料属性的合理近似模型(rational approximation of material properties，简称RAMP)。SIMP或RAMP通过引入惩罚因子对中间密度值进行惩罚，使中间密度值向0/1两端聚集，使连续变量的拓扑优化模型能很好地逼近0-1离散变量的优化模型，这时中间密度单元对应一个很小的弹性模量，对结构刚度矩阵的影响将变得很小。变密度法在多工况应力约束下平面体结构、三维连续体结构、结构碰撞、汽车车架设计等问题上得到成功应用。代表性的工作有：Mlejnek建立的变密度模型；张东旭对平面弹性体问题的研究；YangRenjie对于车身拓扑优化的应用等等。

    3.3 渐进结构优化方法(Evolutionary Structural Optimization，简称ESO法)

    渐进结构优化方法是近年来兴起的一种解决各类结构优化问题的数值方法。ESO的基本概念很简单，即通过将无效的或低效的材料一步步去掉，剩下的结构也将趋于优化。在优化迭代中，该方法采用固定的有限元网格，对存在的材料单元，其材料数编号为非零的数，而对不存在的材料单元，其材料数编号为零，当计算结构刚度矩阵等特性时，不计材料数为零的单元特性(通过数据映射转换，建立固定有限元网格数据信息和计算结构刚度矩阵等特性所需的有效网格数据信息关系)。通过这种零和非零模式实现结构的拓扑优化。特别是，该方法可采用已有的通用有限元分析软件，通过迭代过程在计算机上实现。算法通用性好，不仅可解决尺寸优化，还可同时实现形状与拓扑优化(主要包括应力、位移/刚度、频率或临界应力约束问题的优化)，而且结构的单元数规模可成千上万。尽管该方法在收敛性的证明方面有所欠缺，但许多算例已证明ESO方法在解决实际问题时是非常成功的。徐斌等在ESO方法的基础上，针对简谐激励下的连续体结构的拓扑优化提出了一种新的优化指示器。荣见华等基于ESO提出了一种适合于桥梁结构的拓扑优化方法。它具有优化以张力和(或)压力占优的设计能力并进一步提出了一种精细网格设计方案。

    ESO法的另一突破是双方向渐进结构法(Bi-Directional Evolutionary Structural Optimization，简称BESO)。传统的ESO法仅允许删除单元，被删除了的单元在后继的迭代中不能恢复，相对来说影响了方法的总体最优的可信性和计算效率，其进化方式限制了它的应用。Ouerin以及荣见华等发展了双方向渐进结构优化法。荣见华等提出了一种在结构边界和空洞周围附加人工材料的思路。该方法能采用固定有限元网格中不同的初始优化结构获得拓扑优化。在此基础上，建立了简谐载荷作用下结构动响应及其导数的计算公式，然后综合静、动应力等性能特性以及他们的灵敏度，建立了一套静、动力特性约束的结构拓扑双方向进化优化方法。由于其概念上的简洁性和应用上的有效性，该方法具有较大的理论价值和很好的工程应用前景。此外，傅建林等提出了一种基于Ishai应力的双向ESO法，该方法考虑了不同材料的强度特性，提高了优化解的可信度；罗志凡等提出了一种基于主应力的双向渐进结构优化方法，该方法避免了解的振荡问题；杜海珍等提出了一种基于应变能的双向ESO法；易伟建和刘霞将遗传算法和ESO算法揉合到一起，发展了一种新的遗传ESO算法，简称GESO算法，这种算法在不增加时间的前提下，把群体的概念借鉴到ESO中，巧妙解决了遗传算法费时和ESO法容易陷入局部最优解的两个问题。

    除了以上几种常用的拓扑优化方法外，还有一些其它有前途的方法。如Eschenauer的“泡泡法”(bubble method)；Jog和Haber等人的“等周方法”(Perimeter method)；Fleurg和Becker提出的基于离散拓扑变量的对偶问题解法；Michael YW等提出的“水平集方法”(Ievel set method)；软杀法(soft kill method)和硬杀法(hard kill method)；Maute和Ramm提出的自适应网格法也有一定的参考价值。

    在优化算法的选择上，学者们提出了各种各样求解拓扑优化的方法。目前应用较多的有OC法(Optimality Criteria)，SIMP法(SoIid Isotropic Microstructure with Penalization)，SLP法(Seguential Linear Programming)和MMA法(Method of Moving Asymptotes)等。OC法是基于直觉的准则法，是把数学中最优解应满足的K-T条件作为最优结构应满足的准则，用优化准则来更新设计变量和拉格朗日乘子。该法的突出特点是对设计变量修改较大，因而收敛速度快，迭代次数少且与结构大小及复杂程度无关；缺点是对不同类型的约束、变量、目标函数等需导出不同的优化准则，通用性差。MMA法即移动渐进线法，用一显式的线性凸函数来近似代替隐式的目标和约束函数，由事先确定的左、右渐进点和原函数在各点的导数符号来确定迭代准则即每一步的近似函数。如果左、右渐进点分别趋近负无穷大和正无穷大时，MMA法就等同于用SLP近似。其优点是该法是全局收敛的，并且对解的存在性有重要的理论依据，对初值不敏感，比较稳定，缺点是计算效率低。SIMP法更多地同密度法结合使用，在优化过程中引入惩罚因子。SLP法即序列线性规划法，该法的通用性好，但收敛速度慢，对初值敏感。

    需要指出的是在实际的拓扑优化过程中存在数值计算不稳定的现象，主要包括：棋盘格式，网格依赖性，局部极值和多孔材料问题等。Jog把拓扑优化问题归结为一个极大极小值优化问题，在有限元计算中采用高阶单元取代低阶单元，Bendsoe提出了8节点和9节点单元插值法，Kikuchi提出了超单元法；此外，Haber提出了周长约束法，Eschenauer提出了冒泡法，Sigmund提出了梯度矢量平滑过渡法，Wang和Sethian提出应用Level Set方法描述结构边界等都在一定程度上解决了棋盘格式问题。相对于棋盘格式而言，网格依赖性以及局部极值问题的解决方法相对较少。Haber和Eschenauer的解决棋盘格式问题的方法，在一定程度上也可抑制网格依赖性问题，Bendsoe提出了整体梯度约束方法，Petersson和Sigmund提出了局部梯度约束方法，Sigmund还提出了一个不依赖于网格尺寸的滤波方法。

4 结论和展望

    结构拓扑优化仍然处在发展初期,理论上虽有较多进展,但实际应用相对来说较少，在这一领域迫切需要取得进展。因为拓扑优化不仅能提供新的结构形式，还对新材料的研制有作用。就拓扑优化的发展方向，应主要在下面几个方面：

    (1)在模型构造上寻求新的途径。结合工程具体问题进行拓扑优化设计的研究,使之更接近于实际。针对不同领域(如动力、传热、材料设计等)研究拓扑优化方法。

    (2)可靠性的优化。结构的可靠性正日益成为现代结构设计的重要指标，基于可靠性的拓扑优化设计应该是将来的一个研究方向。

    (3)平行算法(parallel algorithms)。结构优化的巨大计算量,要求更快的计算机处理速度，平行处理是提高计算机处理速度的重要技术。

    (4)可靠、高效、通用算法的进一步研究。使拓扑优化问题能够获得全局最优解。

    (5)软件开发。应研制开发一批面向实际问题的专用的结构优化软件。软件应具有友好的用户界面,合宜的图像处理模块，实现优化过程与成果的可视化，且能与有关专业的CAD软件连接或在它的框架内成为它的一个子系统。