有限元方法（FEM）是一种数值技术，用于对任何给定的物理现象进行有限元分析（FEA）。

必须使用数学来全面理解和量化任何物理现象，例如结构或流体行为，热传输，波传播和生物细胞的生长。其中大多数过程都是使用偏微分方程（PDE）进行描述的。但是，对于用于解决这些PDE的计算机，在过去的几十年中已经开发了数值技术，而当今最杰出的技术之一就是有限元法。

有限元方程偏微分方程

首先，了解不同类型的偏微分方程及其在有限元中的适用性是非常重要的。理解这一点对每个人来说都是特别重要的，不管使用的动机是什么。有限元分析。重要的是要记住，FEM是一个工具，任何工具只有它的用户好。

图01：环空上的拉普拉斯方程。图像四十二[CC by-SA3.0(
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]，通过维基共享。

PDE可分为椭圆型、双曲型和抛物线型。在求解这些微分方程时，需要提供边界和/或初始条件。根据PDE的类型，可以评估必要的输入。每一类PDE的例子包括Poisson方程(椭圆型)、波动方程(双曲型)和Fourier定律(抛物型)。

求解椭圆型偏微分方程的方法主要有两种：有限差分法(FDM)和变分法(或能量法)。有限元法属于第二类。变分方法主要是基于能量最小化的哲学。

双曲型偏微分方程通常与解决方案的跳跃有关。例如，波动方程是双曲PDE。由于解中存在间断(或跳跃)，原有限元技术(或Bubnov-Galerkin法)不适合求解双曲型偏微分方程。然而，多年来，为了扩大有限元技术的适用性，人们对有限元技术进行了改进。

在结束这一讨论之前，有必要考虑使用不适合于PDE类型的数值框架的后果。这样的使用会导致被称为“不恰当定位”的解决方案。这可能意味着域参数的微小变化会导致解的大振荡，或者解只存在于域或时间的某一部分，这是不可靠的。适定性解释被定义为对定义的数据持续存在唯一解决方案的解释。因此，考虑到可靠性，获得良好的解是非常重要的.

有限元法能量最小化原理

有限元是如何工作的？主要的驱动力是什么？能量最小化原理是有限元法的主要支柱。换句话说，当一个特定的边界条件被应用到一个物体上时，这可能导致几种配置，但实际上只有一种特定的配置是可能的或实现的。即使在多次进行仿真时，也会获得相同的结果。为什么会这样？

图02：虚拟工作原理的描述

这是遵循能量最小化原则的。它指出，当施加边界条件(如位移或力)时，在物体可以采取的众多可能配置中，只有总能量最小的配置才是所选择的配置。

有限元法有限元法的历史

从技术上讲，根据一个人的观点，有限元可以说起源于欧拉的作品，早在16世纪。然而，最早的关于有限元的数学论文可以在Schellback[1851]和Courant[1943]的著作中找到。

有限元法是由工程师独立开发的，用于解决与航空航天和土木工程有关的结构力学问题。这些发展始于20世纪50年代中期，分别发表了特纳、克劳夫、马丁和托普[1956]、阿吉里斯[1957]和巴布斯卡(Babuska)和阿齐兹(Aziz)[1972]的论文。Zienkiewicz[1971]、Strang和Fix[1973]的著作也为有限元的未来发展奠定了基础。

对这些历史发展的有趣回顾载于Oden[1991]。

弱形式

有限元的第一步是识别与物理现象相关的PDE。PDE(或微分形式)称为强形式，积分形式称为弱形式。考虑简单的PDE，如下所示。该方程由两边的试函数v(X)相乘，并与区域[0，1]积分。

现在，利用零件的积分，可以将上述方程的lhs简化为

可以看出，未知函数u(X)所需的连续性阶约为1。以前的微分方程要求u(X)至少可微两次，而积分方程则要求u(X)仅可微一次。多维函数也是如此，但导数被梯度和散度所取代。

不涉及数学，Riesz表示定理可以证明u(X)对于积分和微分形式是唯一的解。另外，如果f(X)是光滑的，它也保证u(X)是光滑的。

离散化

一旦建立了积分或弱形式，下一步就是对弱形式进行离散化。积分形式需要进行数值求解，因此积分被转换为可以数值计算的求和。此外，离散化的主要目标之一也是将积分形式转化为一组矩阵方程，这些方程可以用众所周知的矩阵代数理论来求解。

域被划分为称为“元素”的小块，每个元素的角点称为“节点”。在节点处计算未知泛函u(X)。为每个元素定义插值函数，对元素内部的值使用节点值进行插值。这些插值函数也常被称为形状函数或ansatz函数。因此，未知泛函u(X)可以简化为

其中，nen是元素中的节点数，Ni和UI分别是与节点I相关联的插值函数和未知数。同样，也可以对其他函数v(X)和f(X)进行弱形式的插值，以便将弱形式重写为

求和格式可转化为矩阵积，并可重写为

弱形式现在可以归结为矩阵形式[K]{u}={f}。

请注意，先前的试用函数v(X)被乘以后的矩阵方程中不再存在。[K]也称为刚度矩阵，{u}是节点未知数的向量，{R}是剩余向量。此外，利用数值积分格式，如Gauss和Newton-Cotes求积法，还可以方便地处理构成切线刚度和残差矢量的弱形式的积分。

插值函数的选择需要大量的数学知识(如Hilbert和Sobolev)。关于这方面的更多细节，本文所列的参考资料“如何学习有限元分析？“建议。

求解者

一旦建立了矩阵方程，这些方程就传递给求解者来求解方程组。根据问题的类型，通常使用直接或迭代求解。更详细的解说员概况和他们的工作方式，以及如何在他们之间作出选择的技巧，都可以在博客文章中找到。“如何选择S老者：直接还是反复？“

有限元分析连杆在web浏览器中执行西姆斯代尔

有限元类型不同类型的有限元法

正如前面所讨论的，传统的有限元技术在流体力学和波传播的建模问题上存在缺陷。为了改进求解过程并将有限元分析的适用范围扩大到广泛的问题，最近进行了一些改进。仍在使用的一些重要问题包括：

扩展有限元法

Bubnov-Galerkin方法要求单元间位移的连续性。虽然接触、断裂和损伤等问题都涉及到不连续和跳跃，但有限元法不能直接处理这些问题。为了克服这一缺点，XFEM诞生于20世纪90年代，XFEM通过扩展Heaviside阶跃函数来扩展形状函数。额外的自由度被分配到不连续点周围的节点，这样就可以考虑跳跃。

广义有限元法

GFEM是在90年代与XFEM同时引入的，它结合了传统有限元法和无网格法的特点。形状函数主要由全局坐标定义，并进一步乘以单元的分割来创建局部元素形状函数。GFEM的优点之一是防止围绕奇点重新啮合.

混合有限元法

在一些问题中，如接触或不可压缩性，约束是通过拉格朗日乘子施加的。这些由拉格朗日乘子产生的额外自由度是独立求解的。方程组的求解类似于耦合方程组。

Hp-有限元法

HP-FEM是自动网格细化(h-精化)和多项式(p-精化)的结合.这与分别进行h-和p-细化是不一样的。当使用自动hp-细化，并将一个元素划分为较小的元素(h-精化)时，每个元素也可以有不同的多项式顺序。

间断伽辽金有限元法

在传统有限元方法较弱的情况下，DG-FEM在利用有限元思想求解双曲型方程方面具有重要的应用前景。此外，它还显示了弯曲和不可压缩问题的改进，这些问题通常在大多数材料过程中被观察到。在这里，附加的约束被添加到包含惩罚参数(以防止相互渗透)和元素之间的其他应力平衡项的弱形式。

希望这篇文章已经回答了你最重要的关于什么是有限元方法的问题的答案。